課題：函數(shù)的單調(diào)性

　　課時：一課時

　　課型：新授課

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　1.知識與技能：

　　(1)從形與數(shù)兩方面理解單調(diào)性的概念。

　　(2)絕大多數(shù)學(xué)生初步學(xué)會利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法。

　　2.過程與方法：

　　(1)通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力。

　　(2)通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，體驗數(shù)形結(jié)合思想方法。

　　(3)經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構(gòu)單調(diào)性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程。

　　3.情感態(tài)度價值觀：

　　通過知識的探究過程養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣;感受用辯證的觀點思考問題。

　　二、教學(xué)重點

　　函數(shù)單調(diào)性的概念形成和初步運用。

　　三、教學(xué)難點

　　函數(shù)單調(diào)性的概念形成。

　　四、教學(xué)關(guān)鍵

　　通過定義及數(shù)形結(jié)合的思想，理解函數(shù)的單調(diào)性。

　　五、教學(xué)過程

　　(一)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

　　教師活動：分別作出函數(shù)y=2x，y=-2x和y=x2+1的圖象，并且觀察函數(shù)變化規(guī)律，描述前兩個圖象后，明確這兩種變化規(guī)律分別稱為增函數(shù)和減函數(shù)。 然后提出兩個問題：問題一：二次函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)?問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)?

　　學(xué)生活動：觀察圖象，利用初中的函數(shù)增減性質(zhì)進(jìn)行描述，y=2x的圖象自變量x在實數(shù)集變化時，y隨x增大而增大，y=-2x的圖象自變量x在實數(shù)集變化時，y隨x增大而減小。在此基礎(chǔ)上描述y=x2+1在(-∞，0]上y隨x增大而減小，在(0，+∞)上y隨x增大而增大。理解單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，在一個區(qū)間里，y隨x增大而增大，則是增函數(shù);y隨x增大而減小就是減函數(shù)。

　　設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)理解函數(shù)的單調(diào)性”，因此在本環(huán)節(jié)的設(shè)計上，從學(xué)生熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)入手，從初中對函數(shù)增減性的認(rèn)識過渡到對函數(shù)單調(diào)性的直觀感受。通過一次函數(shù)認(rèn)識單調(diào)性，再通過二次函數(shù)認(rèn)識單調(diào)性是局部性質(zhì)，進(jìn)而完善感性認(rèn)識。

　　(二)初步探索，形成概念

　　教師活動：(以y=x2+1在 (0，+∞)上單調(diào)性為例)讓學(xué)生理解如何用精確的數(shù)學(xué)語言(隨著、增大、任取)來描述函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到增(減)函數(shù)的定義。并進(jìn)一步提出如何判斷的問題。

　　學(xué)生活動：通過交流、提出見解，提出質(zhì)疑，相互補(bǔ)充理解函數(shù)定義的解釋，討論表示大小關(guān)系時，理解如何取值，明白任取的意義。

　　設(shè)計意圖：通過啟發(fā)式提問，實現(xiàn)學(xué)生從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性，實現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。

　　(三)概念深化，延伸擴(kuò)展

　　教師活動：提出下面這個問題：能否說f(x)= 在它的定義域上是減函數(shù)?從這個例子能得到什么結(jié)論?并給出例子進(jìn)行說明：

　　進(jìn)一步提問：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(減)函數(shù)，何時函數(shù)在A∪B上也是增(減)函數(shù)，最后再一次回歸定義，強(qiáng)調(diào)任意性。

　　學(xué)生活動：思考、討論，提出自己觀點，并提出反例，如x1=-1，x2=1，進(jìn)而得出結(jié)論：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(減)函數(shù)，函數(shù)在A∪B上不一定是增(減)函數(shù)將函數(shù)圖象進(jìn)行變形(如x<0時圖象向下平移)。

　　設(shè)計意圖：通過上面的問題，學(xué)生已經(jīng)從描述性語言過渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言。而對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言學(xué)生還缺乏準(zhǔn)確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學(xué)生對單調(diào)性概念的理解。

　　(四)證明探究，應(yīng)用定義

　　教師活動：展示例題

　　例1：證明函數(shù)

　　在(0，+ )上是增函數(shù)

　　證明：任取 且

　　∴函數(shù) 在(0，+ )上是增函數(shù)。

　　進(jìn)一步提問：如果把(0，+∞)條件去掉，如何解這道題?要求學(xué)生課后思考。

　　學(xué)生活動：根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明、討論，規(guī)范出證明步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論，理解根據(jù)定義進(jìn)行判斷，體會判斷可轉(zhuǎn)化成證明并完成課后思考題。

　　設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)是對函數(shù)單調(diào)性概念的準(zhǔn)確應(yīng)用，本題采用前面出現(xiàn)過的函數(shù)，一方面希望學(xué)生體會到函數(shù)圖象和數(shù)學(xué)語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學(xué)生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調(diào)性定義的應(yīng)用上。課標(biāo)中指出“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達(dá)。高中課程強(qiáng)調(diào)返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學(xué)生再次從定義出發(fā)，尋求方法，并體會轉(zhuǎn)化思想。

　　(五)小結(jié)評價，作業(yè)創(chuàng)新

　　教師活動：從知識、方法兩個方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，留出如下的課后作業(yè)(1、2、4必做，3選做)：

　　1、 證明：函數(shù) 在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)。

　　2、課上思考題

　　3、求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間

　　4、思考P46 探索與研究

　　學(xué)生活動：回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程、證明、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟和數(shù)學(xué)思想方法，完成課后作業(yè)。

　　設(shè)計意圖：使學(xué)生對單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認(rèn)識，體會到數(shù)學(xué)概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義，并且作業(yè)實現(xiàn)分層，滿足學(xué)生需求。

　　六、板書設(shè)計